Mathematiker gucken zuweilen Fußball. Das jüngste WM-Endspiel jedenfalls verfolgte auch der Zahlentheoretiker Levent Alpöge, Absolvent der Eliteuniversitäten Harvard und Princeton und heute Mitarbeiter der Firma Anthropic, eines der Platzhirsche auf dem Feld der Künstlichen Intelligenz.
Anthropics mächtigstem öffentlich zugänglichem KI-Modell, Claude Fabel 5, stellte Alpöge vor dem Anpfiff eine mathematische Aufgabe. Vier Stunden nach dem Sieg der Spanier lag die Antwort vor, und noch in derselben Nacht teilt Alpöge sie auf der Plattform X mit, 216 Zeichen, die in der Mathematik-Gemeinde einschlagen wie eine Bombe: „Hallo, da draußen. Die Jacobi-Vermutung ist falsch.“
Vier Tage später versammelten sich mehr als fünftausend Mathematiker in Philadelphia zum International Congress of Mathematicians (ICM). Das Treffen findet alle vier Jahre im Sommer statt, zuletzt also 2022, vor der Veröffentlichung von ChatGPT. Jetzt ist KI das beherrschende Thema. Denn die Nachrichten über mathematische Leistungen von KI-Systemen häuften sich schon vor Alpöges Tweet. Seit einigen Monaten gelten sie vor allem den sogenannten Erdös-Problemen, einer Sammlung von 1217 mathematischen Fragen, die der Mathematiker Paul Erdös (1913 bis 1996) im Laufe seines Lebens formuliert hatte und von denen bis dato erst 564 beantwortet sind.
Eine von 18 besonders harten Nüssen
Mehr als ein Dutzend davon waren im Oktober 2025 noch offen, wurden aber seither durch oder zumindest unter Beteiligung von KI-Modellen gelöst. Schlagzeilen machte insbesondere Problem Nummer 90, das sogenannte „Unit Distance Problem“, für das Erdös selbst im Jahr 1946 eine Vermutung formulierte, die er zwar nicht bewies, aber sehr plausibel darlegen konnte. Doch sie ist falsch. Im Mai 2026 forderten Mitarbeiter des Unternehmens Open AI – der Heimat von ChatGPT – ein internes Modell mittels eines 1460 Zeichen langen Prompts auf, Erdös’ Vermutung zu beweisen oder zu widerlegen. Die KI antwortete mit einer Widerlegung, die anschließend nachvollzogen und für korrekt befunden werden konnte. Das Unit-Distance-Problem ist eine in Fachkreisen sehr bekannte Frage aus der diskreten Geometrie, und die KI hatte bei der Beantwortung nicht nur irgendwie mitgeholfen, sondern war selbständig zu einer mathematischen Einsicht gelangt.
Und jetzt auch noch die Jacobi-Vermutung. Sie wurde vor 87 Jahren vom deutschen Mathematiker Ott-Heinrich Keller aufgestellt, und die Frage, ob sie stimmt, findet sich auf einer Liste von 18 besonders wichtigen und zugleich besonders schwierigen Problemen, die der Mathematiker Stephen Smale im Jahr 1998 zusammenstellte – neben so illustren Rätseln wie der Riemannschen Vermutung und dem sogenannten P-NP-Problem.
Polynome machen so was nicht! Oder doch?
Benannt ist die Jacobi-Vermutung eigentümlicherweise nicht nach ihrem Urheber, sondern einem mathematischen Gebilde namens Jacobi-Determinante. Das ist eine Zahl, die mehrdimensionale Funktionen charakterisiert, in drei Dimensionen also solche, die aus einem Punkt (x,y,z) einen anderen Punkt (F₁(x,y,z), F₂(x,y,z) und F₃(x,y,z)) machen. Dabei sind F₁, F₂ und F₃ Formeln, aus denen man die Jacobi-Determinante ausrechnen kann. Hängt sie nicht mehr von x, y oder z ab, ist sie ungleich null und handelt es sich bei F₁, F₂ und F₃ um Polynome – das sind Summen von Termen, in denen x, y und z nur mit positiven ganzzahligen Exponenten vorkommen –, dann, so Kellers Vermutung, ist die Funktion umkehrbar. Das bedeutet: Aus verschiedenen Punkten (x,y,z) macht die Funktion immer verschiedene (F₁, F₂, F₃)
Das scheint insofern plausibel, als eine in irgendeinem Punkt von null verschiedene Jacobi-Determinante eine Umkehrbarkeit der Funktion in der Umgebung um diesen Punkt signalisiert. Ist eine Funktion aber um jeden Punkt herum umkehrbar, dann sollte sie auch insgesamt umkehrbar sein – jedenfalls bei mathematisch derart harmlosen Funktionen wie Polynomen, mit denen es jeder schon in der Schule zu tun bekommt. Doch Claude Fable 5 fand auf Levant Alpöges Anfrage hin während des WM-Endspiels dieses Gegenbeispiel:
Diese Funktion besitzt eine Jacobi-Determinante mit dem Wert -2, was weder null ist noch von x, y, oder z abhängt, aber sie bildet die Punkte (0,0,-1/4), (1,-3/2,13/2) und (-1,3/2,13/2) alle auf ein und denselben Punkt ab, nämlich (-1/4,0,0). Sie ist also nicht umkehrbar. Damit ist die Jacobi-Vermutung im Dreidimensionalen falsch – und infolge eines bekannten Theorems auch für alle höheren Dimensionen. Allein im zweidimensionalen Raum, also wenn die Funktion nur zwei Komponenten F₁ und F₂ hat, die nur von zwei Variablen, sagen wir x und y, abhängen, könnte sie noch richtig sein. Sind es drei oder mehr, dann reichen bereits Polynome, um Punktmengen wie Kurven oder Flächen unumkehrbar zu verknoten oder zu verknüllen.
Noch hat Levent Alpöge dieses Resultat nicht ordnungsgemäß veröffentlicht, es gab also auch noch keine Fachbegutachtung. Doch die erübrigt sich hier. Jeder Elftklässler kann in einer Formelsammlung nachschauen, wie man eine Jacobi-Determinante berechnet, und die angegebenen Punkte in die Formeln einsetzen, um sich davon zu überzeugen, dass die Behauptung stimmt und die Vermutung damit widerlegt ist. Andererseits wartet die Mathewelt nun sehnsüchtig darauf, dass Alpöge ihr verrät, wie er Claude Fable 5 gepromptet hat, bevor er sich dem Fußballspiel zuwandte.
Die KI ist auf Forschungsniveau angekommen
Tatsache ist: Eine solche Formel kann man nicht erraten, auch nicht systematisch. Selbst für Supercomputer wäre der dafür abzuklappernde Suchraum viel zu groß. Es muss hier also eine mathematische Einsicht zugrunde liegen, auf die nur kein Mensch zuvor gekommen war. „Dabei ist das Gegenbeispiel verhältnismäßig ‚klein‘“, sagt Valentin Blomer von der Universität Bonn. „Vielleicht haben die Mathematiker einfach die falsche Spur verfolgt und eine mögliche Widerlegung zu wenig in Betracht gezogen.“
Blomer selbst findet die Lösung des Unit-Distance-Problems zwar noch etwas spannender, aber auch die Jacobi-Vermutung gehöre zweifellos zu den echten Forschungsfragen und habe schon in Hunderten von Fachveröffentlichungen Erwähnung gefunden. Die Zeiten, in der KI-Modelle lediglich in Aufgaben für Schülerwettbewerbe konkurrenzfähig waren, wie zuerst 2024 und 2025, sind bereits wieder vorbei.
Aber kann sie mehr als Probleme lösen?
„Die eigentlich spannende Frage ist, welche Rolle KI in mathematischer Forschung in Zukunft spielen wird“, sagt Blomer. Es gebe eine Handvoll spektakulärer Fälle, die in die Kategorie „Problemlösung“ gehören, er kenne aber noch keinen Fall, in dem KI etwas geleistet hätte, was man „theory building“ nennt. Die KI-Modelle sind demnach noch nicht so weit entwickelt, selbst neue Konzepte zu generieren, die neue Fragen ermöglichen.
Ein Beispiel für „theory building“ aus jüngster Zeit wäre das sogenannte geometrische Langlands-Programm, das sich daran machte, Verbindungen zwischen sehr verschiedenen Teilgebieten der Mathematik aufzuspüren. Im Jahr 2024 wurde die Tragfähigkeit dieser Vision durch Dennis Gaitsgory vom Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn mit einigen Kollegen spektakulär bewiesen, was Gaitsgory den Breakthrough-Preis einbrachte, der höher dotiert ist als der Nobelpreis, und seinem Ko-Autor Sam Raskin, seit 2023 Professor in Yale, den zugehörigen Preis für Nachwuchswissenschaftler.
Wird die KI auch einmal in solche Sphären vorstoßen können? „Ich würde nicht behaupten, dass ich derzeit ein genaues Verständnis davon habe, wo die Grenzen der KI in der Mathematik liegen“, sagt Raskin. „Ich persönlich bin von manchen Entwicklungen mehr beeindruckt als von anderen.“ Die Fähigkeiten von KI-Modellen hätten sich zweifellos rasch verbessert, sagt er, allerdings habe er den Eindruck, dass sie dann besonders gut abschneiden, wenn sie auf eine umfangreiche Literatur zurückgreifen können oder große Datensätze auf Muster hin analysieren.
„Was mich an der Mathematik unter anderem fesselt, das ist die Möglichkeit, zu sehen, wie andere Menschen denken“, sagt Raskin. „Ähnlich wie beim Lesen eines Romans entsteht durch das Kennenlernen der Ideen und Eigenheiten eines anderen Menschen eine Verbindung zu ihm; und in der Selbstdarstellung liegt eine gewisse Verletzlichkeit. Ich stelle fest, dass ich von KI-produzierter Mathematik grundsätzlich weniger fasziniert bin als von den Ideen meiner Freunde und Kollegen.“ Ob es dabei noch bleibt, wenn Levent Alpöge den Prompt öffentlich macht, mit dem er Claude dazu gebracht hat, die Jacobi-Vermutung zu widerlegen?
